Bevezetés a mátrixelméletbe

Tartalom

Előszó 9
1. Mátrixalgebra 13
1.1 Elnevezések és jelölések 13
1.2 Műveletek mátrixokkal 17
1.2.1 Mátrixok összeadása és számmal való szorzása 17
1.2.2 Mátrixok szorzása 19
1.2.3 Speciális mátrixszorzatok 26
1.2.4 Az inverz mátrix 33
1.3 A mátrix rangja 38
1.3.1 A rang fogalma; mátrixok minimális diadikus felbontása 38
1.3.2 Vektorok lineáris függetlensége 46
1.3.3 Rangra vonatkozó tételek 50
1.3.4 Elemi transzformációk, ekvivalens transzformációk, mátrix normálalakja 52
1.3.5 A nullitás fogalma; a Sylvester-féle nullitási tétel 60
1.4 Speciális tulajdonságú mátrixok 62
1.4.1 Speciális mátrixok 62
1.4.2 Szimmetrikus egyenletes kontinuáns mátrix invertálása 70
1.4.3 Nilpotens és ciklikus mátrix polinomjának invertálása 75
1.5 Hipermátrixok 77
1.5.1 Hipermátrixok szorzása és faktorizációja 77
1.5.2 Szimmetrikusan particionált másodrendű hipermátrix faktorizálása, determinánsa, inverze 80
1.5.3 Módosított mátrix és minormátrix inverze 85
1.6 Projektorok 100
1.6.1 Projektorokra vonatkozó tételek 101
1.6.2 Mátrixok általánosított inverze 108
1.7 Lineáris egyenletrendszerek 113
1.7.1 Homogén lineáris egyenletrendszer 114
1.7.2 Inhomogén lineáris egyenletrendszer 117
1.7.3 Lineáris egyenletrendszer kvadratikus együtthatómátrixszal 127
2. A lineáris algebra alapjai 145
2.1 A lineáris tér 146
2.2 Az euklideszi tér 152
2.3 Lineáris függvények, bilineáris és kvadratikus alakok 166
2.4 Lineáris transzformációk 174
2.5 A bázis vektorok transzformációja 186
2.5.1 A koordináták transzformációja új bázisra való áttérés esetén 186
2.5.2 Bilineáris alak mátrixának transzformációja új bázisra
való áttérés esetén (kongruens transzformáció) 191
2.5.3 Az X és Ax vektorok koordinátái közötti összefüggés 193
2.5.4 A lineáris transzformáció mátrixának transzformációja új bázisra való áttérés esetén (hasonlósági transzformáció) 194
2.6 Lineáris transzformáció sajátvektorai és sajátértékei 206
2.7 Adjungált lineáris transzformációk 214
2.8 Diagonalizálható transzformációk, transzformációpárok, általánosított sajátérték-feladat 216
2.8.1 Önadjungált transzformációk 216
2.8.2 Unitér transzformációk 218
2.8.3 Felcserélhető és normális transzformációk 220
2.8.4 Pozitív definit transzformációk 226
2.8.5 Főtengelytétel és általánosítása 230
2.8.6 Sajátértékek extremális tulajdonsága 235
2.9 Lineáris transzformációk a valós lineáris térben 239
2.9.1 Lineáris transzformáció normálalakja 239
2.9.2 Szimmetrikus és ortogonális transzformációk 242
2.9.3 Kvadratikus alakok 251
3. Mátrixfüggvények 255
3.1 Egyszerű struktúrájú mátrixok spektrális tulajdonságai 256
3.1.1 Mátrix spektrálfelbontása 256
3.1.2 Projektormátrix spektrálfelbontása 260
3.1.3 Unitér transzformációval diagonalizálható mátrixok 262
3.1.4 Mátrixok szinguláris értékek szerinti felbontása 267
3.2 A mátrixfüggvény fogalma és előállítása
a minimálpolinom egyszeres gyökei esetén 272
3.2.1 A Cayley-Hamilton-tétel és élesítése 272
3.2.2 A mátrixfüggvény értelmezése és redukciója mátrixpolinomra 275
3.2.3 A Lagrange-féle mátrixpolinomok tulajdonságai 278
3.2.4 Mátrixfüggvény spektrálfelbontása 280
3.2.5 Lagrange-féle mátrixpolinomok előállítása
a karakterisztikus mátrix adjungált jávai 287
3.3 Kommutatív blokkokból álló hipermátrixok 298
3.3.1 A hipermátrix determinánsa 298
3.3.2 Mátrixok direkt szorzata 301
3.3.3 Hipermátrix spektrálfelbontása 304
3.3.4 Kronecker-polinomok 307
3.4 Mátrixfüggvény előállítása a minimálpolinom többszörös gyökei esetén 311
3.4.1 Mátrixfüggvény előállítása Hermite-féle mátrix-polinomok
segítségével 311
3.4.2 Az Hermite-féle mátrixpolinomok tulajdonságai 318
3.4.3 Mátrixok kvázidiagonalizálása 322
3.4.4 Nilpotens mátrixok transzformációja Jordan-féle normálalakra 326
3.4.5 Mátrixfüggvények kanonikus előállítása 341
3.5 Elemi osztók elmélete 347
3.5.1 A determinánsosztó invarianciája 347
3.5.2 A determinánsosztó invarianciája speciális esetben 349
3.5.3 A determinánsosztó invarianciája általános esetben 351
3.5.4 Az elemi osztók és a Jordan-féle normálalak 353
3.6 Lineáris differenciálegyenlet rendszerek 358
3.6.1 Explicit alakban megadott lineáris elsőrendű közönséges
differenciálegyenlet-rendszerek 359
3.6.2 A differenciálegyenlet-rendszer megoldása a rezolvensmátrix
ismeretében 362
3.6.3 A rezolvensmátrix meghatározása 364
3.6.4 A rezolvensmátrix előállítása a felcserélhetőségi reláció
teljesülése esetén 366
3.6.5 Állandó együtthatómátrixú differenciálegyenlet-rendszerek
megoldása 369
3.6.6 Elsőrendű közönséges differenciálegyenlet-rendszer
periodikus megoldása 378
3.6.7 Rezgő rendszerek stabilitásvizsgálata 380
3.6.8 Explicit alakban megadott másodrendű rendszerek 385
4. Nemnegatív elemű mátrixok 401
4.1 Irreducibilis mátrixok 402
4.1.1 Út a Frobenius-tételekhez 402
4.1.2 A Frobenius-tételek 407
4.1.3 A Frobenius-tételek következményei 416
4.2 Reducibilis mátrixok 421
4.2.1 A reducibilis mátrixok alaptétele 421
4.2.2 Reducibilis nemnegatív elemű mátrix normálalakja 424
4.3 Primitív és imprimitív mátrixok 428
4.4 Sztochasztikus mátrixok 430
4.4.1 Alapfogalmak és alapvető tételek 431
4.4.2 Markov-láncok ergodicitása; a sztochasztikus mátrixok osztályozása 437
4.4.3 Bolyongási feladatok 443
4.4.4 Spektrálfelbontás meghatározása generátor függvény segítségével 456
Irodalomjegyzék 465
Névmutató 471
Tárgymutató 473

Témakörök