Számelmélet

Tartalom

Bevezetés 9
1. Számelméleti alapfogalmak 15
1.1. Oszthatóság 15
1.2. Maradékos osztás 20
1.3. Legnagyobb közös osztó 25
1.4. Felbonthatatlan szám és prímszám 33
1.5. A számelmélet alaptétele 37
1.6. Kanonikus alak 42
2. Kongruenciák 54
2.1. Elemi tulajdonságok 54
2.2. Maradékosztályok és maradékrendszerek 60
2.3. Az Euler-féle p-függvény 67
2.4. Euler-Fermat-tétel 71
2.5. Lineáris kongruenciák 74
2.6. Szimultán kongruenciarendszerek 81
2.7. Wilson-tétel 93
2.8. Műveletek maradékosztályokkal 96
3. Magasabb fokú kongruenciák 102
3.1. Megoldásszám és redukció 102
3.2. Rend 106
3.3. Primitív gyök 110
3.4. Diszkrét logaritmus (index) 119
3.5. Binom kongruenciák 121
3.6. Chevalley-tétel, Kőnig-Rados-tétel 126
3.7. Prímhatvány modulusú kongruenciák 132
4. Legendre- és Jacobi-szimbólum 137
4.1. Másodfokú kongruenciák 137
4.2. Kvadratikus reciprocitás
4.3. Jacobi-szimbólum 147
5. Prímszámok 152
5.1. Klasszikus problémák 152
5.2. Fermat- és Mersenne-prímek 158
5.3. Prímszámok számtani sorozatokban 168
5.4. Becslések 7r(rr)-re 171
5.5. Hézag a szomszédos prímek között 180
5.6. A prímek reciprokösszege 187
5.7. Prímtesztek 199
5.8. Titkosírás 213
6. Számelméleti függvények 219
6.1. Multiplikativitás, additivitás 219
6.2. Nevezetes függvények 225
6.3. Tökéletes számok 233
6.4. A d(n) függvény vizsgálata 237
6.5. Összegzési és megfordítási függvény 247
6.6. Konvolúció 252
6.7. Átlagérték 259
6.8. Additív függvények karakterizációja 274
7. Diofantikus egyenletek 279
7.1. Lineáris diofantikus egyenlet 280
7.2. Pitagoraszi számhármasok 285
7.3. Néhány elemi módszer
7.4. Gauss-egészek
7.5. Számok előállítása négyzetösszegként 304
7.6. A Waring-problémakör 313
7.7. A Fermat-sejtés 319
7.8. Pell-egyenlet 333
7.9. Partíciók 339
8. Diofantikus approximáció 348
8.1. Irracionális szám approximációja 348
8.2. Minkowski-tétel 357
8.3. Lánctörtek 364
8.4. A törtrészek eloszlása 371
9. Algebrai és transzcendens számok 376
9.1. Algebrai szám, transzcendens szám 376
9.2. Minimálpolinom és fokszám 380
9.3. Műveletek algebrai számokkal 383
9.4. Algebrai számok approximációja 389
9.5. Az e transzcendens szám 396
9.6. Algebrai egész 402
10. Algebrai számtestek 407
10.1. Testbővítés 407
10.2. Egyszerű algebrai bővítés 411
10.3. Másodfokú bővítések 418
10.4. Norma 433
10.5. Egész bázis 438
11. Ideálok 447
11.1. Ideál 447
11.2. Elemi számelméleti kapcsolatok 454
11.3. Alaptételes gyűrű, főideálgyűrű, euklideszi gyűrű 459
11.4. Ideálok oszthatósága 467
11.5. Dedekind-gyűrű 476
11.6. Osztályszám 489
Eredmények és útmutatások 494
1. Számelméleti alapfogalmak 494
2. Kongruenciák 506
3. Magasabb fokú kongruenciák 521
4. Legendre- és Jacobi-szimbólum 533
5. Prímszámok 538
6. Számelméleti függvények 553
7. Diofantikus egyenletek 575
8. Diofantikus approximáció 598
9. Algebrai és transzcendens számok 603
10. Algebrai számtestek 610
11. Ideálok 616
Megoldások 624
1. Számelméleti alapfogalmak 624
2. Kongruenciák 633
3. Magasabb fokú kongruenciák 642
4. Legendre- és Jacobi-szimbólum 645
5. Prímszámok 647
6. Számelméleti függvények 657
7. Diofantikus egyenletek 672
8. Diofantikus approximáció 686
9. Algebrai és transzcendens számok 689
10. Algebrai számtestek 692
11. Ideálok 702
Történeti névtár 717
Táblázatok 723
Prímszámok (2-3907) 723
Prímtényezős felbontás 725
Mersenne-számok 726
Fermat-számok 727
Tárgymutató 728

Témakörök